GCN小结

入门必看

推荐顺序由简到难：

1. 何时能懂你的心——图卷积神经网络（GCN）

2. 知乎Johnny Richards和superbrother的回答

3. CSDN文章

4. 清华大学综述文章：Graph Neural Networks：A Review of Methods and Applications

5. GCN开山之作：Semi-Supervised Classification With Graph Convolutional Networks

提出思想及发展

提出

对于图（pictures）的处理，CNN是一件大法宝；但是由于CNN处理的对象都是Euclidean Structure，无法对Non Euclidean Structure数据进行处理。图（graph）就是典型的Non Euclidean Structure数据。所以GCN（Graph Convolutional Network）应运而生。

研究GCN的原因，主要可以简答概括为三点（参考知乎superbrother 的回答）：

1. CNN无法处理Non Euclidean Structure数据（传统的离散卷积在Non Euclidean Structure数据上无法保持平移不变性）
2. 希望在拓扑图结构上有效地提取空间特征来进行机器学习
3. 拓扑连接是一种广义的数据结构，可应用范围广

解决方案

因为在Non Euclidean Structure数据中，传统的图像卷积操作（图像上的数据点的加权求和）不能适用，所以要想完成GCN，就需要重新定义卷积操作。
现在的卷积思路有两种：

谱域图卷积

• 根据图谱理论和卷积定理，将数据从空（间）域转换到谱域进行处理
• 有较强的理论基础

因为傅里叶变换的一个重要性质：
函数$f_1(t)$和函数$f_2(t)$的傅里叶变换，等于二者傅里叶变换的乘积的逆变换,即：

$$f_1(x)*f_2(x)=\mathcal{F^{-1}[\mathcal{F_1(w)}\mathcal{F_2(w)}]}$$

符号	定义
$f_1(x)$、$f_2(x)$	函数
$\mathcal{F_1(w)}$、$\mathcal{F_2(w)}$	对应函数的傅里叶变换
也就是说只要定义了图（graph）的频域变换，就可以推导出图的卷积计算

空域图卷积

• 不依靠图谱卷积理论，直接在空间上定义卷积操作（有点CNN那味儿了）
• 定义直观，灵活性强

本周主要了解的是谱域卷积。

发展

Fig1.发展时间线</font>
上图时间轴中，红色的是谱域卷积，蓝色的是空域卷积。

重要的结论

ChebNet到GCN的转变是重点。
因为推导过程有点复杂，在此只介绍结论：
| 符号 | 定义 |
| ——————————— | ——————————————————— |
| $L=D-A$ | 分别是拉普拉斯矩阵、度矩阵、邻接矩阵 |
| $U$ | 拉普拉斯矩阵的特征向量（特征分解得到） |
| $\boldsymbol{\Lambda}$ | 拉普拉斯矩阵的特征值（特征分解得到） |
| $\hat{X}$ | 傅里叶变换结果 |

• 结论一：
  经过一系列复杂证明，我们可以知道Laplacian Matrix 的特征向量$U=(\bar{u}_1,\bar{u}_2,\bar{u}_3,…,\bar{u}_n,)$是n维空间的n个线性无关的正交向量。$U$可以构成一组正交基，且任意信号都可以由此基表示。
• 结论二：
  $U$（拉普拉斯矩阵的特征向量）担任了基函数的位置；拉普拉斯矩阵的特征值担任了频率的位置。

由此二结论，可以推导拓展到谱域的傅里叶变换：
Fourier transform ：$\hat{X}=U^TX$
Inverse Fourier transform : $X=U\hat{X}$

由此定义了图卷积：

$$X*_G g = \mathcal{F^{-1}( \mathcal{F}(x)\odot\mathcal{F}(g))}=U(U^Tx\odot U^Tg)$$

其中，$\odot$是hamand积。

从ChebNet 到GCN

因为按上式计算，每次都要进行特征值分解，计算量很大。所以使用Chebyshev（切比雪夫）多项式代替谱域的卷积核：

详见:Convolutional neural networks on graphs with fast localized spectral filtering 一文

$g{\theta}=diag(U^Tg)$ ——->$g{\theta}(\boldsymbol{\Lambda})=\sum^R_{k=0}\beta_kT_k \hat{(\boldsymbol{\Lambda}})$

此方法有以下特点：
1）卷积核只有K+1个可学习的参数，一般 K远小于n，参数的复杂度被大大降低
2）采用Chebyshev多项式代替谱域的卷积核后，经过公示推导，ChebNet不需要对拉普拉斯矩阵做特征分解了。省略了最耗时的步骤。
3）卷积核具有严格的空间局部性。同时，K就是卷积核的“感受野半径”。即将中心顶点K阶近邻节点作为邻域节点。

关键在于GCN丢ChebNet进行了进一步的简化，它仅考虑一阶的ChebNet,得到一个非常简洁的表达式：

$$x*_G g_\theta=\theta(I_N+D^{-1/2}AD^{-1/2})x$$

详见 Semi-Supervised Classification With Graph Convolutional Networks 一文

符号	定义
$I_N$	单位矩阵
$D$、$A$	度矩阵、邻接矩阵
$\theta$	可学习参数

现在还有一个问题，$I_N+D^{-1/2}AD^{-1/2}$的特征值范围[0,2]，在训练过程中可能会出现梯度消失或梯度爆炸，所以要进行归一化：

$$Z = \tilde{D}^{-1/2} \tilde{A}\tilde{D}^{-1/2} X\Theta$$

这就是最终的表达式。其中符号$\tilde{D}=\sumj \tilde{A}{ij}$，$\tilde{A}=A+I_N$(可以理解为再归一化的邻接矩阵和度矩阵)

应用

在Semi-Supervised Classification With Graph Convolutional Networks一文中，提出一个具有两层的GCN模型：

$$Z=f(X,A)=softmax(\tilde{A} ReLU（\tilde{A}XW^0）W^1)$$

其中$X$是节点特征矩阵，A是邻接矩阵。此GCN模型可以在很少的节点具有标签的情况下，完成节点的分类。

缺点

1. 谱域图卷积不能做有向图（无法特征分解）
2. 模型训练期间，图结构不能变
3. 复杂度问题
4. 层数太高会出现Over-Smoothing现象

TODO LIST

空域图卷积

• GNN

  • 构建邻域（Random Walk）

  • 对邻域节点进行内积

    详见：A Generalization of Convolutional Neural Networks to Graph-Structured Data

• GraphSAGE

  • 卷积=采样+信息聚合

    详见:Inductive representation learning on large graphs

• GAT

  • 卷积定义为利用注意力机制对邻域节点有区别的聚合

    详见：GRAPH ATTENTION NETWORKS

• PGC

  • 卷积认为是特定的取样函数与特定的权重函数相乘后求和

    详见：Spatial Temporal Graph Convolutional Networks for Skeleton-Based Action