通信基础-常用的一些分布

CSCG: Circularly Symmetric Complex zero-mean white Gaussian noise 循环对称复高斯噪声

CSCG：循环对称复高斯

数学定义：

$$\textbf{Z}\sim\mathcal{CN}(0,1)\to \Re{\textbf{Z}} \perp \!\!\! \perp\Im{\textbf{Z}} \\and\\ \Re{\textbf{Z}}\sim \mathcal{N}(0,1/2)\quad \Im{\textbf{Z}}\sim\mathcal{N}(0,1/2)$$

含义

• Circularly: means the variance of the real and imaginary parts are equal.
• Gaussian: means the probability distribution of the amplitudes of the noise samples is Gaussian

Matlab

(randn(m,n)+1i*randn(m,n))*sigma/sqrt(2)

其中sigmal是方差

正态分布的再生性

设随机比昂量$X$和$Y$相互独立且分别服从正态分布$N\sim(\mu_1,\sigma_1^2)$和$N\sim(\mu_2,\sigma_2^2)$，则$Z=X+Y$服从正态分布$N\sim(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$

Rayleigh分布

复高斯分布的模服从瑞利分布：

$$f(x)=\frac{x}{\sigma^{2}} e^{-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}, x>0$$

Rayleigh分布和复高斯分布的关系

如果$\textbf{A}\sim\mathcal{CN}(0,\sigma^2)$，即$\Re{\textbf{A}}\sim\mathcal{N}(0, \sigma^2/2)$，$\Im{\textbf{A}}\sim\mathcal{N}(0, \sigma^2/2)$，则$|\textbf{A}|\sim$参数为$\sigma^2/2$的瑞利分布：

$$f_{|\textbf{A}|}(x)=\frac{x}{\sigma^{2}/2} e^{-\frac{x^{2}}{\sigma^{2}}}, x>0$$

simulation

因为没有找到Rayleigh分布和复高斯分布的关系。使用matlab进行仿真验证。

非中心卡方分布

非中心卡方分布由若干独立同方差的均值不全为0的高斯随机变量平方和得到。

值得注意的是，例如OneL文章中以及其他参考文献中所述，常常写为$\mathcal{X}^2(a,b)$，其中，$a$为自由度，$b$为参数$\lambda/\sigma^2$。

所以，此时有期望$E=a+b$（事先归一化了方差，所以这里比上式少了一个$\sigma^2$）

方差$V=2(a+2b)$（事先归一化了方差，所以这里比上式少了一个$\sigma^4$）

---

参考书目：《数字通信》P46

非中心卡方分布的PDF为：

$$p(x)= \begin{cases}\frac{1}{2 \sigma^2}\left(\frac{x}{s^2}\right)^{\frac{n-2}{4}} e^{-\frac{s^2+x}{2 \sigma^2}} I_{\frac{n}{2}-1}\left(\frac{s}{\sigma^2} \sqrt{x}\right) & x>0 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}$$

其中：

$$\begin{align} &s = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^nm_i^2}\\ &I_\alpha(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x / 2)^{\alpha+2 k}}{k ! \Gamma(\alpha+k+1)}, \quad x \geq 0 \end{align}$$ $$I_\alpha(x)$$是**modify Bessel function of the first kind and order $$\alpha$$**，$$\Gamma(x)$$是gamma function。 对于$$x>1$$，有常用近似$$I_0(x)\approx\frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}$$

其CDF为：

$$F(x)= \begin{cases}1-Q_m\left(\frac{s}{\sigma}, \frac{\sqrt{x}}{\sigma}\right) & x>0 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}$$

其中$2m=n$，$Q_m(a,b)$为generalized Marcum Q function.

matlab实现

generalized Marcum Q function 和modify bessel function of the first kind and order $\alpha$可以直接用matlab函数：

marcumq(a,b,m) % calculate the generilized Marcum Q function
besseli(alpha,x) % calculate the modify bessel function of the first kind and order alpha

CDF和PDF推导

例如之前遇到的典型问题，三个随机变量分别服从参数为$\lambda_1$,$\lambda_2$,$\lambda_1$的指数分布，记为$\Gamma_1$，$\Gamma_2$，$\Gamma_3$，即：

$$\Gamma_1\sim\mathbf{E}(\lambda_1)\\ \Gamma_2\sim\mathbf{E}(\lambda_2)\\ \Gamma_3\sim\mathbf{E}(\lambda_3)\\$$

则其和$\Gamma=\Gamma_1+\Gamma_2+\Gamma_3$的CDF为：

$$\mathrm{F}_\Gamma(\gamma)=\text{Pr}(\Gamma\leq \gamma)=\text{Pr}(\Gamma_1+\Gamma_2+\Gamma_3\leq \gamma)$$

令$\Gamma^\S=\Gamma_1+\Gamma_2$，则上式变为：

$$\begin{align} &\text{Pr}(\Gamma_1+\Gamma_2+\Gamma_3\leq \gamma)=\text{Pr}(\Gamma^\S+\Gamma_3\leq \gamma)\\ =&\text{Pr}(\Gamma^\S\leq \gamma-\Gamma_3)\\ =&\mathrm{F}_{\Gamma^\S}(\gamma-\Gamma_3)\\ =&\int^\gamma_0\mathrm{F}_{\Gamma^\S}(\gamma-\gamma_3)\mathrm{f}_{\Gamma_3}(\gamma_3)d\gamma_3 \end{align}$$

因为：

$$\begin{align} &\mathrm{F}_{\Gamma^\S}(\gamma^\S)=\text{Pr}(\Gamma^\S\leq\gamma^\S)\\ =&\text{Pr}(\Gamma_1+\Gamma_2\leq\gamma^\S)\\ =&\text{Pr}(\Gamma_1\leq\gamma^\S-\Gamma_2)\\ =&\int^{\gamma^\S}_0\mathrm{F}_{\gamma_1}(\gamma^\S-\gamma_2)\mathrm{f}_{\Gamma_2}(\gamma_2)d\gamma_2\\ =&\int^{\gamma^\S}_0(1-e^{-\lambda_1(\gamma^\S-\gamma_2)})\lambda_2e^{-\lambda_2\gamma_2}d\gamma_2\\ =&-\frac{\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_2}e^{-\lambda_2\gamma^\S}+1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}e^{-\lambda_1\gamma^\S} \end{align}$$

所以：

$$\begin{align} &\text{Pr}(\Gamma_1+\Gamma_2+\Gamma_3\leq \gamma)\\ =&\int^{\gamma}_0\left(\frac{-\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_2}e^{-\lambda_2(\gamma-\gamma_3)} +1+\frac{\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}e^{-\lambda_1(\gamma-\gamma_3)}\right)\lambda_3e^{-\lambda_3\gamma_3}d\gamma_3\\ =&e^{-\lambda_3\gamma}c_3+e^{-\lambda_2\gamma}c_2+e^{-\lambda_1\gamma}c_1+1 \end{align}$$

其中，有：

$$\begin{align} &c_3=\frac{\lambda_2\lambda_3}{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_1-\lambda_3)}-\frac{\lambda_1\lambda_3}{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_2-\lambda_3)}-1\\ &c_2=\frac{\lambda_1\lambda_3}{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_2-\lambda_3)}\\ &c_1=-\frac{\lambda_2\lambda_3}{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_1-\lambda_3)} \end{align}$$

其PDF为：

$$-\lambda_3e^{-\lambda_3\gamma}c_3-\lambda_2e^{-\lambda_2\gamma}c_2-\lambda_1e^{-\lambda_1\gamma}c_1$$

高斯分布的任意高阶矩

clc;clear;close all;

% 阶数为n
for n=2:2:16
%     n=6;
    k=n/2;
    % s代表sigma  没有平方！！！！
    syms s
    if rem(k, 1) ~=0
        disp('Error: make sure n is even plz')
    else
        disp(n)
        moment = factorial(2*k)*s^(2*k)/(2^k*factorial(k))
    end
end

参考Digital Communications-Fifth Edition ，John G. Proakis