Max-Min Fair Beamforming->Single & Multiple BF

Beamformer design for wireless energy transfer with fairness. Amanthi Thudugalage et.al. 2016 IEEE International Conference on Communications (ICC), 22-27 May 2016 (pdf) (Citations 19)

Quick Overview

Max-Min Fair Beamforming

松弛为SDP问题
考虑Single Beamforming问题和Multiple Beamforming问题
利用randC（ $\textbf{w}_l=\textbf{U}\Sigma^{1/2}\textbf{v}_l$ ）得到Single的最优解
Mutiple BF可以得到精确的解
Mutiple 比 Single更公平，简单分析了原因

主要内容

Single Beamforming建模和松弛

建模和松弛

松弛的结果不满足rank-one，可以使用randC进行进一步优化->randomization。

注意，Single Beamforming 意味着是天线在全时间段使用一组 $\textbf{w}$ ，所以 $\textbf{w}\in\mathbb{C}^{M\times 1}$ ，所以有rank-one约束。

Multiple Beamforming建模和松弛

示意图

如上图所示，在时间 $T_c$ 内，有多个Beamforming，下文中建模都是对(a) equal durations 进行建模，没有对different durations 建模。但是实验好像又用的different durations，只能说结构上是类似的。

part 1

值得注意的是，这里没有rank-one约束，因为不再是single Beamforming了。

Part 2

我理解的different durations，通过对 $\textbf{X}_{\text{opt}}$ 进行特征值分解，丢弃 $10^{-5}$ 以下，保留较大项。以特征值作为持续时间，特征向量作为 $\textbf{w}$ 。从物理意义上而言，仅用较大特征值对应的特征向（作为 $\textbf{w}$ ）就可以表示其余特征向量；亦或者说较大特征值占用较多时间，那么意味着较小特征值几乎没有占用时间，就可以丢弃了。

简而言之，由于不再是single Beamforming，所以没有rank-one约束，也没有其他rank约束，因为解出来的特征值较大项是多少就用多少的。不需要强制限制。