MAX–MIN FAIR BEAMFORMING -> SDP Question

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Transmit beamforming for physical-layer multicasting. N.D. Sidiropoulos et.al. IEEE Transactions on Signal Processing, June 2006 (pdf) (Citations 904)

Quick Overview

考虑MAX–MIN FAIR BEAMFORMING

• 将 Precoder原先的非凸优化问题松弛到SDP问题
• 考虑松弛后，对结果进行再优化
  • 如果解出来的矩阵是rank-one，那么就是这个原始问题的最优结果
  • 如果解出来的矩阵不是rank-one，那么这个解就是满足约束的下限
• 在非rank-one的前提下，给出三种 based on randomization的方法，选择出最优的结果

主要内容

建模

值得注意的一个等价形式： \[ \tilde{\mathbf{h}}_{i}^{H} \mathbf{w} \mathbf{w}^{H} \tilde{\mathbf{h}}_{i}=\Tr(\tilde{\mathbf{h}}_{i}^{H} \mathbf{w} \mathbf{w}^{H} \tilde{\mathbf{h}}_{i})=\Tr(\mathbf{w} \mathbf{w}^{H}\tilde{\mathbf{h}}_{i}\tilde{\mathbf{h}}_{i}^{H})=\Tr(\textbf{XQ}_i) \] Drop rank-one constraint 会得到一个松弛结果。

由松弛结果可以得到\(\textbf{X}_{\text{opt}}\)，然后得到a set of candidate weight vectors，再根据某种判别条件（好像不同文章中的从set中选择最优的条件不同）选择最优结果。

randA

对解得的\(\textbf{X}_{\text{opt}}\)有\(\textbf{X}_{\text{opt}}=\textbf{U}\Sigma\textbf{U}^H\)，可以得到a set of candidate weight vectors \(\textbf{w}_l=\textbf{U}\Sigma^{1/2}\textbf{e}_l\)，其中\([\textbf{e}_l]_i=e^{j\theta_{l,j}}\)，且\(\theta_{l,j}\sim U[0,2\pi)\)。以保证有\(\textbf{w}_l^H\textbf{w}_l=\Tr(\textbf{X}_{\text{opt}})\)

randB

对解得的\(\textbf{X}_{\text{opt}}\)做\([\textbf{w}_l]_i=\sqrt{[\textbf{X}]_{ii}}[\textbf{e}_l]_i\)，以保证有\(|[\textbf{w}_l]_i|^2=[\textbf{X}_{\text{opt}}]_{ii}\)，其中\(\textbf{e}_{l}\)同randA。

randC

类似于randA，有\(\textbf{w}_l=\textbf{U}\Sigma^{1/2}\textbf{v}_l\)，其中\(\textbf{v}_l\sim\mathcal{CN}(0,1)\)，以保证有\(\text{E}[\textbf{w}_l\textbf{w}^H]=\textbf{X}_{\text{opt}}\)