MAX–MIN FAIR BEAMFORMING -> SDP Question

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Transmit beamforming for physical-layer multicasting. N.D. Sidiropoulos et.al. IEEE Transactions on Signal Processing, June 2006 (pdf) (Citations 904)

Quick Overview

考虑MAX–MIN FAIR BEAMFORMING

• 将 Precoder原先的非凸优化问题松弛到SDP问题
• 考虑松弛后，对结果进行再优化
  • 如果解出来的矩阵是rank-one，那么就是这个原始问题的最优结果
  • 如果解出来的矩阵不是rank-one，那么这个解就是满足约束的下限
• 在非rank-one的前提下，给出三种 based on randomization的方法，选择出最优的结果

主要内容

建模

建模

值得注意的一个等价形式：

$${\tilde{\mathbf{h}}}_i^H\mathbf{w}{\mathbf{w}}^H{\tilde{\mathbf{h}}}_i=\text{Tr}({\tilde{\mathbf{h}}}_i^H\mathbf{w}{\mathbf{w}}^H{\tilde{\mathbf{h}}}_i)=\text{Tr}(\mathbf{w}{\mathbf{w}}^H{\tilde{\mathbf{h}}}_i{\tilde{\mathbf{h}}}_i^H)=\text{Tr}({\mathbf{\text{XQ}}}_i)$$

Drop rank-one constraint 会得到一个松弛结果。

由松弛结果可以得到${\mathbf{\text{X}}}_{\text{opt}}$，然后得到a set of candidate weight vectors，再根据某种判别条件（好像不同文章中的从set中选择最优的条件不同）选择最优结果。

randA

对解得的${\mathbf{\text{X}}}_{\text{opt}}$有${\mathbf{\text{X}}}_{\text{opt}}=\mathbf{\text{U}}\mathrm{\Sigma }{\mathbf{\text{U}}}^H$，可以得到a set of candidate weight vectors ${\mathbf{\text{w}}}_l=\mathbf{\text{U}}{\mathrm{\Sigma }}^{1/2}{\mathbf{\text{e}}}_l$，其中$[{\mathbf{\text{e}}}_l{]}_i=e^{j{\theta }_{l,j}}$，且${\theta }_{l,j}\sim U[0,2\pi )$。以保证有${\mathbf{\text{w}}}_l^H{\mathbf{\text{w}}}_l=\text{Tr}({\mathbf{\text{X}}}_{\text{opt}})$

randB

对解得的${\mathbf{\text{X}}}_{\text{opt}}$做$[{\mathbf{\text{w}}}_l{]}_i=\sqrt{[\mathbf{\text{X}}{]}_{ii}}[{\mathbf{\text{e}}}_l{]}_i$，以保证有$|[{\mathbf{\text{w}}}_l{]}_i{|}^2=[{\mathbf{\text{X}}}_{\text{opt}}{]}_{ii}$，其中${\mathbf{\text{e}}}_l$同randA。

randC

类似于randA，有${\mathbf{\text{w}}}_l=\mathbf{\text{U}}{\mathrm{\Sigma }}^{1/2}{\mathbf{\text{v}}}_l$，其中${\mathbf{\text{v}}}_l\sim \mathcal{CN}(0,1)$，以保证有$\text{E}[{\mathbf{\text{w}}}_l{\mathbf{\text{w}}}^H]={\mathbf{\text{X}}}_{\text{opt}}$