MAX–MIN FAIR BEAMFORMING -> SDP Question

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Transmit beamforming for physical-layer multicasting. N.D. Sidiropoulos et.al. IEEE Transactions on Signal Processing, June 2006 (pdf) (Citations 904)

Quick Overview

考虑MAX–MIN FAIR BEAMFORMING

• 将 Precoder原先的非凸优化问题松弛到SDP问题
• 考虑松弛后，对结果进行再优化
  • 如果解出来的矩阵是rank-one，那么就是这个原始问题的最优结果
  • 如果解出来的矩阵不是rank-one，那么这个解就是满足约束的下限
• 在非rank-one的前提下，给出三种 based on randomization的方法，选择出最优的结果

主要内容

建模

值得注意的一个等价形式：

$$\tilde{\mathbf{h}}_{i}^{H} \mathbf{w} \mathbf{w}^{H} \tilde{\mathbf{h}}_{i}=\Tr(\tilde{\mathbf{h}}_{i}^{H} \mathbf{w} \mathbf{w}^{H} \tilde{\mathbf{h}}_{i})=\Tr(\mathbf{w} \mathbf{w}^{H}\tilde{\mathbf{h}}_{i}\tilde{\mathbf{h}}_{i}^{H})=\Tr(\textbf{XQ}_i)$$

Drop rank-one constraint 会得到一个松弛结果。

由松弛结果可以得到$\textbf{X}_{\text{opt}}$，然后得到a set of candidate weight vectors，再根据某种判别条件（好像不同文章中的从set中选择最优的条件不同）选择最优结果。

randA

对解得的$\textbf{X}_{\text{opt}}$有$\textbf{X}_{\text{opt}}=\textbf{U}\Sigma\textbf{U}^H$，可以得到a set of candidate weight vectors $\textbf{w}_l=\textbf{U}\Sigma^{1/2}\textbf{e}_l$，其中$[\textbf{e}_l]_i=e^{j\theta_{l,j}}$，且$\theta_{l,j}\sim U[0,2\pi)$。以保证有$\textbf{w}_l^H\textbf{w}_l=\Tr(\textbf{X}_{\text{opt}})$

randB

对解得的$\textbf{X}_{\text{opt}}$做$[\textbf{w}_l]_i=\sqrt{[\textbf{X}]_{ii}}[\textbf{e}_l]_i$，以保证有$|[\textbf{w}_l]_i|^2=[\textbf{X}_{\text{opt}}]_{ii}$，其中$\textbf{e}_{l}$同randA。

randC

类似于randA，有$\textbf{w}_l=\textbf{U}\Sigma^{1/2}\textbf{v}_l$，其中$\textbf{v}_l\sim\mathcal{CN}(0,1)$，以保证有$\text{E}[\textbf{w}_l\textbf{w}^H]=\textbf{X}_{\text{opt}}$