RANK-ONE Constraint及Precoder

Rank-One

由于在看precoder（发射端波束形成）时，不同文章建模的时候形式不同，有的有rank-one约束，有的没有，有的是放缩。在此做个整理

背景

其实无论是在通信中还是Wireless Energy Transfer中，都是相同的形式，即precoder可能是一个列向量$\textbf{w}\in\mathbb{C}^{M\times 1}$，也可能是一个矩阵$\textbf{w}\in\mathbb{C}^{M\times K}$。其中$M,K$分别是天线数量和用户数。

在最早的文章

Transmit beamforming for physical-layer multicasting. N.D. Sidiropoulos et.al. IEEE Transactions on Signal Processing, June 2006 (pdf) (Citations 904)

作者认为

这是后面所有文章的基本，大家都是这么建模的；唯一问题是这里有个rank-one约束。一般的解决方法是通过drop rank-one constraint，然后得到优化结果后，再通过randomization得到最优的结果，笔记^[1]中有randomization相关内容。

但是在

Beamformer design for wireless energy transfer with fairness. Amanthi Thudugalage et.al. 2016 IEEE International Conference on Communications (ICC), 22-27 May 2016 (pdf) (Citations 19)

A Low-Complexity Beamforming Design for Multiuser Wireless Energy Transfer. Onel L. A. López et.al. IEEE Wireless Communications Letters, Jan. 2021 (pdf) (Citations 4)

其实都是没有rank-one约束的，而是通过计算$\mathbf{X}=\textbf{w}\textbf{w}^H$的特征值和特征向量，以特征值为标准归一化（因为由$\text{Tr}(\mathbf{X})=1$约束，可知特征值之和为1）特征向量，并以归一化后的特征向量作为precoder。这里又存在一个新的问题，这个归一化是在时间上归一化还是在功率上归一化？其表达式和结果都是一样的，但是物理意义不同。

我认为在Onel文章中是在功率上归一化，在ICC中是以时间归一化

在多用户的BF模型中

Dual-Function Radar Communication Systems: A Solution to the Spectrum Congestion Problem. Aboulnasr Hassanien et.al. IEEE Signal Processing Magazine, Sept. 2019 (pdf) (Citations 78)

MU-MIMO Communications With MIMO Radar: From Co-Existence to Joint Transmission. Fan Liu et.al. IEEE Transactions on Wireless Communications, April 2018 (pdf) (Citations 148)

CSI-Free vs CSI-Based Multi-Antenna WET for Massive Low-Power Internet of Things. Onel L. A. López et.al. IEEE Transactions on Wireless Communications, May 2021 (pdf) (Citations 1)

有表达式：

但是值得注意的是，其求和符号上限时而是用户数$K$，时而是天线数$M$。

总而言之，三个问题：

• rank-one约束什么时候存在？
• 特征值归一化什么时候在时间上什么时候在功率上分配？
• 求和上限到底是什么？

Answer

rank-one约束

这个rank-one约束的存在是因为，一根天线只能乘一个权值，所以其实在一个时刻，可以认为$\mathbf{X}=\mathbf{w}\mathbf{w}^H$是由一个列向量$\times$列向量的共轭转置得到的结果，所以一定是rank-one的。

但是由于后面存在的Multiple Beamforming或者松弛，把rank-one丢掉了。

时间分配or功率分配

时间分配如下图，在ICC文章中如下：

功率分配暂时没有看到文章指出，但是是很好理解。

根据具体模型来判断，其结果完全一样。

求和上限

首先我觉得很多学者混用了。一般而言都应该是$K$（用户数），但是可能存在$M=K$的情况

又或者说，当$M<K$时，$\mathbf{X}=\mathbf{w}\mathbf{w}^H$的秩为$\min\{M,K\}=M$，这也意味着最多存在的BF个数为$\min\{M,K\}=M$个。所以可以用$M$作为求和上界。

New Question

==既然rank-one BF不仅计算量大，而且性能不好，为什么不直接用特征值归一化的BF？==

1. https://lcjoffrey.top/2022/04/20/TransmitBF4Phy-layer-Multicasting/ ↩