RANK-ONE Constraint及Precoder
Rank-One
由于在看precoder（发射端波束形成）时，不同文章建模的时候形式不同，有的有rank-one约束，有的没有，有的是放缩。在此做个整理
背景
其实无论是在通信中还是Wireless Energy Transfer中，都是相同的形式，即precoder可能是一个列向量\(\textbf{w}\in\mathbb{C}^{M\times 1}\)，也可能是一个矩阵\(\textbf{w}\in\mathbb{C}^{M\times K}\)。其中\(M,K\)分别是天线数量和用户数。
在最早的文章
Transmit beamforming for physical-layer multicasting. N.D. Sidiropoulos et.al. IEEE Transactions on Signal Processing, June 2006 (pdf) (Citations 904)
作者认为
这是后面所有文章的基本，大家都是这么建模的；唯一问题是这里有个rank-one约束。一般的解决方法是通过drop rank-one constraint，然后得到优化结果后，再通过randomization得到最优的结果，笔记[1]中有randomization相关内容。
但是在
Beamformer design for wireless energy transfer with fairness. Amanthi Thudugalage et.al. 2016 IEEE International Conference on Communications (ICC), 22-27 May 2016 (pdf) (Citations 19)
A Low-Complexity Beamforming Design for Multiuser Wireless Energy Transfer. Onel L. A. López et.al. IEEE Wireless Communications Letters, Jan. 2021 (pdf) (Citations 4)
其实都是没有rank-one约束的，而是通过计算\(\mathbf{X}=\textbf{w}\textbf{w}^H\)的特征值和特征向量，以特征值为标准归一化（因为由\(\text{Tr}(\mathbf{X})=1\)约束，可知特征值之和为1）特征向量，并以归一化后的特征向量作为precoder。这里又存在一个新的问题，这个归一化是在时间上归一化还是在功率上归一化？其表达式和结果都是一样的，但是物理意义不同。
我认为在Onel文章中是在功率上归一化，在ICC中是以时间归一化
在多用户的BF模型中
Dual-Function Radar Communication Systems: A Solution to the Spectrum Congestion Problem. Aboulnasr Hassanien et.al. IEEE Signal Processing Magazine, Sept. 2019 (pdf) (Citations 78)
MU-MIMO Communications With MIMO Radar: From Co-Existence to Joint Transmission. Fan Liu et.al. IEEE Transactions on Wireless Communications, April 2018 (pdf) (Citations 148)
CSI-Free vs CSI-Based Multi-Antenna WET for Massive Low-Power Internet of Things. Onel L. A. López et.al. IEEE Transactions on Wireless Communications, May 2021 (pdf) (Citations 1)
有表达式：
但是值得注意的是，其求和符号上限时而是用户数\(K\)，时而是天线数\(M\)。
总而言之，三个问题：
- rank-one约束什么时候存在？
- 特征值归一化什么时候在时间上什么时候在功率上分配？
- 求和上限到底是什么？
Answer
rank-one约束
这个rank-one约束的存在是因为，一根天线只能乘一个权值，所以其实在一个时刻，可以认为\(\mathbf{X}=\mathbf{w}\mathbf{w}^H\)是由一个列向量\(\times\)列向量的共轭转置得到的结果，所以一定是rank-one的。
但是由于后面存在的Multiple Beamforming或者松弛，把rank-one丢掉了。
时间分配or功率分配
时间分配如下图，在ICC文章中如下：
功率分配暂时没有看到文章指出，但是是很好理解。
根据具体模型来判断，其结果完全一样。
求和上限
首先我觉得很多学者混用了。一般而言都应该是\(K\)（用户数），但是可能存在\(M=K\)的情况
又或者说，当\(M<K\)时，\(\mathbf{X}=\mathbf{w}\mathbf{w}^H\)的秩为\(\min\{M,K\}=M\)，这也意味着最多存在的BF个数为\(\min\{M,K\}=M\)个。所以可以用\(M\)作为求和上界。
New Question
==既然rank-one BF不仅计算量大，而且性能不好，为什么不直接用特征值归一化的BF？==
- https://lcjoffrey.top/2022/04/20/TransmitBF4Phy-layer-Multicasting/ ↩︎