Metasurface/IRS 调频（一）

High-Efficiency Synthesizer for Spatial Waves Based on Space-Time-Coding Digital Metasurface. Jun Yan Dai et.al. LASER & PHOTONICS REVIEWS, 2020 (pdf) (Citations 24)

Quick Overview

两个关键点

实现从基波、+1-st、-1-st 谐波的抑制或转换（如果能很好地抑制不想要的谐波，则转换效率应该很大。理想中最大为100%，即完全抑制不需要的谐波）
实现在这些转换的谐波上进行波束赋形，使波束指向某一特定方向

提出的方法可以同时进行频率转换和beam shaping。

高次谐波的产生主要与discrete phase states相关。

谐波转换

给出入射信号和反射信号的表达式，假设入射单频信号\(E_{\mathrm{i}}(t)=e^{j2\pi f_0t}\)： \[ E_{\mathrm{r}}(t)=E_{\mathrm{i}}(t) \cdot A(t) \mathrm{e}^{j \varphi(t)} \] 令\(\Gamma(t)=A(t) e^{j \varphi(t)}\)且： \[ \varphi(t)=\varphi_0+p \cdot \bmod (t, T) \] 其中\(T\)为调制周期，\(\varphi_0\)为初相。假设\(A(t)=A_0\)为定值。

因为\(\varphi(t)\)为周期函数，所以可以通过傅里叶级数展开： \[ E_r(t)=A_0 \cdot \mathrm{e}^{\left[\varphi_0+p \cdot \bmod (t, T)\right]} \cdot \mathrm{e}^{j 2 \pi f_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \mathrm{e}^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_0 t} \] 且： \[ a_k=\left|A_0 \operatorname{sinc}\left(\frac{p T}{2}-k \pi\right)\right| \mathrm{e}^{j\left[\varphi_0+\frac{p T}{2}-k \pi+\bmod \left(\left\lfloor\frac{p T}{2 \pi}-k \mid, 2\right) \cdot \pi+\varepsilon(2 k \pi-p T) \cdot \pi\right]\right.} \] 当\(pT = 2m\pi\)，有： \[ a_k=\left\{\begin{array}{cc} A_0 \mathrm{e}^{j \varphi_0}, & k=m \\ 0, & k \neq m \end{array}\right. \] 所以可以通过选择适当的\(p\)来控制需要的谐波，并且转换率可以达到\(100\%\)

从上图也可以看到，当\(p\)取不同的值时，留存有不同的谐波，例如在\(p=2\pi/T\)，仅有\(k=m=1\)次谐波有幅度为1，其余谐波幅度都未0。

然后，考虑discrete phase带来的量化误差（quantization error）。选取\(p=2\pi/T\)，即仅保留+1-st谐波，结果如下：

看起来3-bit就可以实现很好地谐波抑制。

Beam shaping

假设metasurface以列为单位，每一列的反射矩阵为\(\Gamma^n(t)\)，即只考虑二维ULA。则远场天线方向图的表达式： \[ f(\theta, t)=\sum_{n=1}^N E^n(\theta) \Gamma^n(t) e^{j \frac{2 \pi f_0}{c}(n-1) d \sin \theta} \] 其中\(E^n(\theta)\approx \cos\theta\)（代表定向天线的方向因子）。则谐波\(f_0+k/T\)的方向图为： \[ F_k(\theta)=\sum_{n=1}^N E^n(\theta) a_k^n \mathrm{e}^{j \frac{2 \pi\left(f_0+k / T\right)}{c}(n-1) d \sin \theta} \] 进一步，仅有\(m\)阶的能保留下来\(a^n_m\neq0\)，则： \[ F_m(\theta)=\sum_{n=1}^N E^n(\theta) A_0 \mathrm{e}^{j\left[\frac{2 \pi\left(f_0+m / T\right)}{c}(n-1) d \sin \theta+\varphi_0\right]} \]

==一般而言，通过调整相位可以改变波束指向，但是这里的相位已经用于谐波生成了，不适合再用于调整波束指向==

所以作者认为可以通过反射单元引入时延来实现相位的调整。