鲁棒beamforming
Date: 2022.11.21 16:15 Author: Joffrey LC
Outage-Constrained Robust Beamforming for Intelligent Reflecting Surface Aided Wireless Communication. Ming-Min Zhao et.al. IEEE Transactions on Signal Processing, 2021 (pdf) (Citations 16)
记录一下，zhougui等人的robust beamforming github code ：https://github.com/ken0225/Framework-of-Robust-Transmission-Design-for-IRS-Aided-MISO-Communications
Quick Overview
在用户最大CSI错误中断概率约束的前提下，联合优化AP和IRS以最小化AP处的发射功率。
- 先考虑单用户情况，计算单用户的平均信号的功率和方差来计算中断概率（功率和方差是trade-off）
- 多用户情况，很难求出闭式解，通过优化算法解决
现有的robust beamforming的算法，可以分为方向：
- 假设部分信道不确定性（有界的CSI误差模型），联合设计precoder和IRS reflection matrix
- 假设统计信号误差模型（高斯分布等）
- 设计中断概率下界高于某个阈值
算法上：
- 对单用户，讨论MSP（mean signal power）的均值和方差的trade-off，通过一维搜索搞定
- 对多用户，SCA，并且先将离散的相位变化放缩到连续，进行优化后，放回离散值并固定，再对precoder进行优化，以补偿IRS相位从连续到离散的损失
单用户（过程很有意思）
有意思的是，其约束是一个概率： \[ \begin{aligned} \min _{\left\{\mathbf{w}_k\right\}, \boldsymbol{\Theta}} & \sum_{k \in \mathcal{K}}\left\|\mathbf{w}_k\right\|^2 \\ \text { s.t. } & \operatorname{Pr}\left(\operatorname{SINR}_k<\eta_k\right) \leq \epsilon_k, \forall k \in \mathcal{K}, \\ & \phi_n \in \mathcal{F}_d, \forall n \in \mathcal{N} . \end{aligned} \] 即优化目标为最小化发射功率，约束（6b）指中断概率小于一个阈值,（6c）指IRS相位的可行域
单用户的时候，可以丢掉下标\(k\)，然后写成矩阵形式有： \[ \begin{aligned} \min _{\mathbf{w}, \boldsymbol{\Theta}} &\|\mathbf{w}\|^2 \\ \text { s.t. } & \operatorname{Pr}\left(\left|\left(\mathbf{h}_r^H \boldsymbol{\Theta} \mathbf{G}+\mathbf{h}_d^H\right) \mathbf{w}\right|^2<\sigma^2 \eta\right) \leq \epsilon, \\ & \phi_n \in \mathcal{F}_d, \forall n \in \mathcal{N} . \end{aligned} \] 并且由变量替换： \[ \mathbf{H}_k \triangleq \operatorname{diag}\left(\mathbf{h}_{r, k}^H\right) \mathbf{G} \] 上式等于： \[ \begin{aligned} \min _{\mathbf{w}, \mathbf{v}} &\|\mathbf{w}\|^2 \\ \text { s.t. } & \operatorname{Pr}\left(\left|\left(\mathbf{v}^H \mathbf{H}+\mathbf{h}_d^H\right) \mathbf{w}\right|^2<\sigma^2 \eta\right) \leq \epsilon, \\ & v_n \in \mathcal{F}_d, \forall n \in \mathcal{N} . \end{aligned} \] 由于发射功率越大中断概率肯定越小，所以可以交换一下： \[ \begin{aligned} &\min _{\mathbf{w}, \mathbf{v}} \operatorname{Pr}\left(\left|\left(\mathbf{v}^H \mathbf{H}+\mathbf{h}_d^H\right) \mathbf{w}\right|^2<\sigma^2 \eta\right) \\ &\text { s.t. }\|\mathbf{w}\|^2 \leq p, \\ &v_n \in \mathcal{F}_d, \forall n \in \mathcal{N}, \end{aligned} \]
然后，加法形式可以再次写成矩阵乘法形式：
进一步，上述优化目标等于求CDF： \[ \begin{aligned} \min _{\mathbf{w}, \mathbf{v}} & \iint_{\mathbf{D}} \mathcal{C N}\left(z ; \tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{H}} \mathbf{w}, p \tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{V}} \tilde{\mathbf{v}}\right) \\ \text { s.t. } &\|\mathbf{w}\|^2 \leq p, \\ & v_n \in \mathcal{F}_d, \forall n \in \mathcal{N}, \end{aligned} \] 因为其CDF为： \[ \begin{aligned} &\iint_{\mathbf{D}} \mathcal{C N}\left(z ; \tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{H}} \mathbf{w}, p \tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{V}} \tilde{\mathbf{v}}\right) \\ &=\mathcal{P}\left(\left.\frac{\eta \sigma^2}{\frac{1}{2} p \tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{V}} \tilde{\mathbf{v}}}\right|_2, \frac{\left|\tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{H}} \mathbf{w}\right|^2}{\frac{1}{2} p \tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{V}} \tilde{\mathbf{v}}}\right) \end{aligned} \] 意思是，服从自由度为2，参数为\(\lambda\)的卡方：
需要同时最大化\(\frac{\tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{H}} \overline{\mathbf{H}}^H \tilde{\mathbf{v}}}{\tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{V}} \tilde{\mathbf{v}}}\)和\(\tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{V}} \tilde{\mathbf{v}}\)，\(\mathcal{P}\left[\left.\chi^2\right|_2, \lambda\right]\)是\(\chi\)的递增函数，是\(\lambda\)的递减函数。
但是同时最大化感觉是不合理的。只能在最大化二者之间找一个平衡： \[ \begin{gathered} \max _{\mathbf{v}} \tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{H}} \overline{\mathbf{H}}^H \tilde{\mathbf{v}}+\omega \tilde{\mathbf{v}}^H \overline{\mathbf{V}} \tilde{\mathbf{v}} \\ \text { s.t. } v_n \in \mathcal{F}_d, \forall n \in \mathcal{N}, \end{gathered} \] 怎么解得，看不懂。